覆面算と高橋の数

インドの数学者がどのようにしてカプレカ数の6174を探したのかはわかりませんが、私が高橋の数を探した方法を紹介します。

私が小学生の頃ですが、母が雑誌に掲載されていた覆面算の問題がとけなくなると私にも考えさせるのでした。
その影響で私は覆面算を解くのが得意になり自分でも問題をつくっていました。
945-459=495 の　ABC－CBA=CAB　という問題はどこかで見たのか私が作っていたのかはわかりませんが、高橋の定理うを探していた高校生のときにいきぬきとしてこの覆面算をおもいだしました。

１桁の０は面白くないので２桁から。
２桁はＡＢ－ＢＡ＝ＢＡだけ調べればよいわけです。ABにはなりませんので。
AB＝BA×２　から　10*a+b=2(10*b+a) をときます。
この式を変形すれば１桁のa,bでは成立しないことがすぐにわかります。

３桁の　ABC－CBA　の答えはCAB　以外にもBAC、BCA　など他のパターンもしらべましたが495以外にはみつかりませんでした。
４桁の　ＡＢＣＤーＤＣＢＡ　では答えのパターンが多くなりますが、一つづつしらべました。
ここで6174がみつかりました。
カプレカ数を知っていればこの作業は不要でしたね。

３桁で一つ、４桁で一つみつかりましたので当然５桁もさがしたくなります。
ところが５桁になると計算量が膨大になるのに全然見つかりませんでした。
せっかく調べたので勢いで６桁に突入したわけです。ここでやめるという考えはありませんでした。

６桁で見つかってからは、いったいいくつあるのだろうと７桁、８桁、９桁と調べ続けました。
い

９桁の　864197532の数字を眺めていたら１から９までの数字が一つずつあることにきずきました。
そうすると引き算は987654321-123456789であるとわかり大変おどろきました。
それまでは高橋の数ばかり気にしていて引き算には注目していなかったのです。
そして同じ９桁の554999445
の引き算は999555444-444555999であることがわかり、６桁の549945は995544-445599であることにやっときずきました。
ここで同じ数の９、５、４を並べて引き算をすればいくつでも高橋の数を作れることがわかり「高橋の数は無数にあると結論がでました。
４桁の6174についても、
7*64*1-1*46*7の４つの*の組を(6,3,3,6),(66,33,33,66),(666,333,333,666)などとすれば無数に作れることもわかりました。

高橋の数が無数にあることがわかり私の長時間にわたる研究がやっと終わったわけですが、いったい何時間かかったのでしょう。何百時間どころでなく千時間はこえていましたね。