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イデア教養文庫03「高橋の数」という本を書いたら、読者の方から、次の情報が寄せられました。
「私の従兄に石黒純一というものがおります。高校時代は超秀才でしたが、今はただのおじさんです。 彼は、「私にも石黒の定理がある」と言っています。 1~9までの重複を許さない整数4個の組は、すべて加減乗除のみで10にすることができる。例えば、1+2+3+4=10。1×2+3+5=10。(6+9)÷5+7=10。6+8÷(9-7)=10。一番難しいのは3,4,7,8の組。出来ますか。 |
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久しぶりに算数の問題を解かされましたが、実は「一番難しい」というのがヒントになりました。
(1)絶対に小数の計算になる
と思いこみました。
(2)8をかけて10になるとしたら、1.25を作ればよい
これも狙い撃ちですね。8をかければ小数が整数になるものがあります。
4でもよいですが、たぶん難しいから8なのだろうと考えました。
(3)3,4,7で1.25を作るには、3か7で割るのだろう
これは誰でも思うでしょう。
ここですぐに3-7÷4がでました。されているものはありませんでした。
その後、石黒さん本人とメールで連絡して、すべての答えをいただきましたので、ここに紹介しておきます。「定理」より「予想」の穂が適当だと思いますので、「石黒の予想」としておきました。
石黒の予想:1~9までの重複を許さない整数4個の組は、すべて加減乗除のみで10にすることができる。
(証明)次のように、すべての場合について、10にすることができる。
1 | 2 | 3 | 4 | 1+2+3+4 |
1 | 2 | 3 | 5 | 1×2+3+5 |
1 | 2 | 3 | 6 | 2-1+3+6 |
1 | 2 | 3 | 7 | (2-1)×3+7 |
1 | 2 | 3 | 8 | 1+3-2+8 |
1 | 2 | 3 | 9 | (1+2)÷3+9 |
1 | 2 | 4 | 5 | 2-1+4+5 |
1 | 2 | 4 | 6 | (2-1)×4+6 |
1 | 2 | 4 | 7 | 1+4-2+7 |
1 | 2 | 4 | 8 | 4+8-1×2 |
1 | 2 | 4 | 9 | 4-1-2+9 |
1 | 2 | 5 | 6 | 1+5-2+6 |
1 | 2 | 5 | 7 | 5+7-1×2 |
1 | 2 | 5 | 8 | 5-1-2+8 |
1 | 2 | 5 | 9 | (1+9)÷2+5 |
1 | 2 | 6 | 7 | 6-1-2+7 |
1 | 2 | 6 | 8 | 1×8÷2+6 |
1 | 2 | 6 | 9 | (9-1)÷2+6 |
1 | 2 | 7 | 8 | 8÷2+7-1 |
1 | 2 | 7 | 9 | 2×9-1-7 |
1 | 2 | 8 | 9 | 2×9-1×8 |
1 | 3 | 4 | 5 | (1+4-3)×5 |
1 | 3 | 4 | 6 | (1+4)×6÷3 |
1 | 3 | 4 | 7 | 1+3×(7-4) |
1 | 3 | 4 | 8 | 1+4-3+8 |
1 | 3 | 4 | 9 | 4+9-1×3 |
1 | 3 | 5 | 6 | 1×5×6÷3 |
1 | 3 | 5 | 7 | 1+5-3+7 |
1 | 3 | 5 | 8 | 5+8-1×3 |
1 | 3 | 5 | 9 | 5-1-3+9 |
1 | 3 | 6 | 7 | 6+7-1×3 |
1 | 3 | 6 | 8 | 6-1-3+8 |
1 | 3 | 6 | 9 | 1+3×(9-6) |
1 | 3 | 7 | 8 | (7-1)÷3+8 |
1 | 3 | 7 | 9 | 1×7+9÷3 |
1 | 3 | 8 | 9 | 9÷3+8-1 |
1 | 4 | 5 | 6 | (1×6-4)×5 |
1 | 4 | 5 | 7 | (7-1-4)×5 |
1 | 4 | 5 | 8 | 1×5×8÷4 |
1 | 4 | 5 | 9 | 5+9-1×4 |
1 | 4 | 6 | 7 | 1+6-4+7 |
1 | 4 | 6 | 8 | 6+8-1×4 |
1 | 4 | 6 | 9 | 6-1-4+9 |
1 | 4 | 7 | 8 | 7-1-4+8 |
1 | 4 | 7 | 9 | (1+4)×(9-7) |
1 | 4 | 8 | 9 | 8÷4+9-1 |
1 | 5 | 6 | 7 | (1+7-6)×5 |
1 | 5 | 6 | 8 | 1×5×(8-6) |
1 | 5 | 6 | 9 | 6+9-1×5 |
1 | 5 | 7 | 8 | 7+8-1×5 |
1 | 5 | 7 | 9 | 7-1-5+9 |
1 | 5 | 8 | 9 | (1+9-8)×5 |
1 | 6 | 7 | 8 | 1+7-6+8 |
1 | 6 | 7 | 9 | 7+9-1×6 |
1 | 6 | 8 | 9 | 8-1-6+9 |
1 | 7 | 8 | 9 | 8+9-1×7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 3-2+4+5 |
2 | 3 | 4 | 6 | 2×(3+6-4) |
2 | 3 | 4 | 7 | 2+4-3+7 |
2 | 3 | 4 | 8 | 2×(3+8÷4) |
2 | 3 | 4 | 9 | 2+3-4+9 |
2 | 3 | 5 | 6 | (3+5)÷2+6 |
2 | 3 | 5 | 7 | (7-3)÷2×5 |
2 | 3 | 5 | 8 | (8-2×3)×5 |
2 | 3 | 5 | 9 | 3×(9-5)-2 |
2 | 3 | 6 | 7 | (7-2)×6÷3 |
2 | 3 | 6 | 8 | 2×(3+8-6) |
2 | 3 | 6 | 9 | 6-2-3+9 |
2 | 3 | 7 | 8 | 7-2-3+8 |
2 | 3 | 7 | 9 | 2×(3+9-7) |
2 | 3 | 8 | 9 | 9+8÷2-3 |
2 | 4 | 5 | 6 | 2×(4+6-5) |
2 | 4 | 5 | 7 | 2+5-4+7 |
2 | 4 | 5 | 8 | 4×(8-5)-2 |
2 | 4 | 5 | 9 | 2+4-5+9 |
2 | 4 | 6 | 7 | 2×(4+7-6) |
2 | 4 | 6 | 8 | 6+8×2÷4 |
2 | 4 | 6 | 9 | (2+4)÷6+9 |
2 | 4 | 7 | 8 | 2×(4+8-7) |
2 | 4 | 7 | 9 | 2×4-7+9 |
2 | 4 | 8 | 9 | 2×(4+9-8) |
2 | 5 | 6 | 7 | 2×5×(7-6) |
2 | 5 | 6 | 8 | 6÷(5-2)+8 |
2 | 5 | 6 | 9 | 2+5-6+9 |
2 | 5 | 7 | 8 | 2×5×(8-7) |
2 | 5 | 7 | 9 | (2+5)÷7+9 |
2 | 5 | 8 | 9 | 8-2-5+9 |
2 | 6 | 7 | 8 | 2×(6+7-8) |
2 | 6 | 7 | 9 | 2+6-7+9 |
2 | 6 | 8 | 9 | 2×(6+8-9) |
2 | 7 | 8 | 9 | 2+7-8+9 |
3 | 4 | 5 | 6 | 3+5-4+6 |
3 | 4 | 5 | 7 | 3×4+5-7 |
3 | 4 | 5 | 8 | 3+4-5+8 |
3 | 4 | 5 | 9 | 3×5+4-9 |
3 | 4 | 6 | 7 | 4×7-3×6 |
3 | 4 | 6 | 8 | 3×4+6-8 |
3 | 4 | 6 | 9 | (9-4)×6÷3 |
3 | 4 | 7 | 8 | (3-7÷4)×8 |
3 | 4 | 7 | 9 | 3×4+7-9 |
3 | 4 | 8 | 9 | 8-3-4+9 |
3 | 5 | 6 | 7 | (3+6-7)×5 |
3 | 5 | 6 | 8 | 3+5-6+8 |
3 | 5 | 6 | 9 | 3×5×6÷9 |
3 | 5 | 7 | 8 | (3+7-8)×5 |
3 | 5 | 7 | 9 | 3+5-7+9 |
3 | 5 | 8 | 9 | (3+8-9)×5 |
3 | 6 | 7 | 8 | 3+6-7+8 |
3 | 6 | 7 | 9 | 6-9÷3+7 |
3 | 6 | 8 | 9 | 3+6-8+9 |
3 | 7 | 8 | 9 | 3+7×(9-8) |
4 | 5 | 6 | 7 | 4+5-6+7 |
4 | 5 | 6 | 8 | (4+6-8)×5 |
4 | 5 | 6 | 9 | (6×9-4)÷5 |
4 | 5 | 7 | 8 | 4+5-7+8 |
4 | 5 | 7 | 9 | (4+7-9)×5 |
4 | 5 | 8 | 9 | 4+5-8+9 |
4 | 6 | 7 | 8 | 6÷(7-4)+8 |
4 | 6 | 7 | 9 | 6+(7+9)÷4 |
4 | 6 | 8 | 9 | 4+6×(9-8) |
4 | 7 | 8 | 9 | 4+7×(9-8) |
5 | 6 | 7 | 8 | 6+8÷(7-5) |
5 | 6 | 7 | 9 | (6+9)÷5+7 |
5 | 6 | 8 | 9 | 5+6+8-9 |
5 | 7 | 8 | 9 | 5×(7+9)÷8 |
6 | 7 | 8 | 9 | 6+8÷(9-7) |