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イデア教養文庫03「高橋の数」という本を書いたら、読者の方から、次の情報が寄せられました。
「私の従兄に石黒純一というものがおります。高校時代は超秀才でしたが、今はただのおじさんです。

彼は、「私にも石黒の定理がある」と言っています。

1~9までの重複を許さない整数4個の組は、すべて加減乗除のみで10にすることができる。例えば、1+2+3+4=10。1×2+3+5=10。(6+9)÷5+7=10。6+8÷(9-7)=10。一番難しいのは3,4,7,8の組。出来ますか。


久しぶりに算数の問題を解かされましたが、実は「一番難しい」というのがヒントになりました。
(1)絶対に小数の計算になる
と思いこみました。
(2)8をかけて10になるとしたら、1.25を作ればよい
これも狙い撃ちですね。8をかければ小数が整数になるものがあります。
4でもよいですが、たぶん難しいから8なのだろうと考えました。
(3)3,4,7で1.25を作るには、3か7で割るのだろう
これは誰でも思うでしょう。
ここですぐに3-7÷4がでました。されているものはありませんでした。

その後、石黒さん本人とメールで連絡して、すべての答えをいただきましたので、ここに紹介しておきます。「定理」より「予想」の穂が適当だと思いますので、「石黒の予想」としておきました。


石黒の予想:1~9までの重複を許さない整数4個の組は、すべて加減乗除のみで10にすることができる。


(証明)次のように、すべての場合について、10にすることができる。

1 2 3 4 1+2+3+4
1 2 3 5 1×2+3+5
1 2 3 6 2-1+3+6
1 2 3 7 (2-1)×3+7
1 2 3 8 1+3-2+8
1 2 3 9 (1+2)÷3+9
1 2 4 5 2-1+4+5
1 2 4 6 (2-1)×4+6
1 2 4 7 1+4-2+7
1 2 4 8 4+8-1×2
1 2 4 9 4-1-2+9
1 2 5 6 1+5-2+6
1 2 5 7 5+7-1×2
1 2 5 8 5-1-2+8
1 2 5 9 (1+9)÷2+5
1 2 6 7 6-1-2+7
1 2 6 8 1×8÷2+6
1 2 6 9 (9-1)÷2+6
1 2 7 8 8÷2+7-1
1 2 7 9 2×9-1-7
1 2 8 9 2×9-1×8
1 3 4 5 (1+4-3)×5
1 3 4 6 (1+4)×6÷3
1 3 4 7 1+3×(7-4)
1 3 4 8 1+4-3+8
1 3 4 9 4+9-1×3
1 3 5 6 1×5×6÷3
1 3 5 7 1+5-3+7
1 3 5 8 5+8-1×3
1 3 5 9 5-1-3+9
1 3 6 7 6+7-1×3
1 3 6 8 6-1-3+8
1 3 6 9 1+3×(9-6)
1 3 7 8 (7-1)÷3+8
1 3 7 9 1×7+9÷3
1 3 8 9 9÷3+8-1
1 4 5 6 (1×6-4)×5
1 4 5 7 (7-1-4)×5
1 4 5 8 1×5×8÷4
1 4 5 9 5+9-1×4
1 4 6 7 1+6-4+7
1 4 6 8 6+8-1×4
1 4 6 9 6-1-4+9
1 4 7 8 7-1-4+8
1 4 7 9 (1+4)×(9-7)
1 4 8 9 8÷4+9-1
1 5 6 7 (1+7-6)×5
1 5 6 8 1×5×(8-6)
1 5 6 9 6+9-1×5
1 5 7 8 7+8-1×5
1 5 7 9 7-1-5+9
1 5 8 9 (1+9-8)×5
1 6 7 8 1+7-6+8
1 6 7 9 7+9-1×6
1 6 8 9 8-1-6+9
1 7 8 9 8+9-1×7
2 3 4 5 3-2+4+5
2 3 4 6 2×(3+6-4)
2 3 4 7 2+4-3+7
2 3 4 8 2×(3+8÷4)
2 3 4 9 2+3-4+9
2 3 5 6 (3+5)÷2+6
2 3 5 7 (7-3)÷2×5
2 3 5 8 (8-2×3)×5
2 3 5 9 3×(9-5)-2
2 3 6 7 (7-2)×6÷3
2 3 6 8 2×(3+8-6)
2 3 6 9 6-2-3+9
2 3 7 8 7-2-3+8
2 3 7 9 2×(3+9-7)
2 3 8 9 9+8÷2-3
2 4 5 6 2×(4+6-5)
2 4 5 7 2+5-4+7
2 4 5 8 4×(8-5)-2
2 4 5 9 2+4-5+9
2 4 6 7 2×(4+7-6)
2 4 6 8 6+8×2÷4
2 4 6 9 (2+4)÷6+9
2 4 7 8 2×(4+8-7)
2 4 7 9 2×4-7+9
2 4 8 9 2×(4+9-8)
2 5 6 7 2×5×(7-6)
2 5 6 8 6÷(5-2)+8
2 5 6 9 2+5-6+9
2 5 7 8 2×5×(8-7)
2 5 7 9 (2+5)÷7+9
2 5 8 9 8-2-5+9
2 6 7 8 2×(6+7-8)
2 6 7 9 2+6-7+9
2 6 8 9 2×(6+8-9)
2 7 8 9 2+7-8+9
3 4 5 6 3+5-4+6
3 4 5 7 3×4+5-7
3 4 5 8 3+4-5+8
3 4 5 9 3×5+4-9
3 4 6 7 4×7-3×6
3 4 6 8 3×4+6-8
3 4 6 9 (9-4)×6÷3
3 4 7 8 (3-7÷4)×8
3 4 7 9 3×4+7-9
3 4 8 9 8-3-4+9
3 5 6 7 (3+6-7)×5
3 5 6 8 3+5-6+8
3 5 6 9 3×5×6÷9
3 5 7 8 (3+7-8)×5
3 5 7 9 3+5-7+9
3 5 8 9 (3+8-9)×5
3 6 7 8 3+6-7+8
3 6 7 9 6-9÷3+7
3 6 8 9 3+6-8+9
3 7 8 9 3+7×(9-8)
4 5 6 7 4+5-6+7
4 5 6 8 (4+6-8)×5
4 5 6 9 (6×9-4)÷5
4 5 7 8 4+5-7+8
4 5 7 9 (4+7-9)×5
4 5 8 9 4+5-8+9
4 6 7 8 6÷(7-4)+8
4 6 7 9 6+(7+9)÷4
4 6 8 9 4+6×(9-8)
4 7 8 9 4+7×(9-8)
5 6 7 8 6+8÷(7-5)
5 6 7 9 (6+9)÷5+7
5 6 8 9 5+6+8-9
5 7 8 9 5×(7+9)÷8
6 7 8 9 6+8÷(9-7)